原问题 ：若何绕过受力合成解力学下场
？《张背阴的若何绕过物理课》教学拉格朗日力学

牛顿力学在17世纪就已经睁开患上至关成熟了，但为甚么在18世纪，受力迷信家们又建树起了另一套拉格朗日力学  ？ 9月29日12时，合成《张背阴的解力教学物理课》第一百七十七期开播，搜狐独创人、学下董事局主席兼首席实施官、场张物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间
，背阴从光学的理课拉格朗日力学费马道理类比动身，剖析做作界存在对于某个熏染量取变分极值的若何绕过偏好，接着构建起拉格朗日力学系统 
，受力并举例剖析拉格朗日力学的合成啰嗦之处。

从费马道理重新审阅牛顿行动方程

在正式介绍拉格朗日力学前
，解力教学张背阴先带巨匠回顾了牛顿力学是学下若何处置下场的 。在牛顿力学中，场张需要先对于物体做受力合成 ，背阴这些力的协力会反映到物体的减速率上，减速率a是速率v的变更率 ，速率v是位置矢量x的变更率。举一个重大的例子 ，重物在重力熏染下逍遥落体
。

（重物逍遥落体）

为重大起见，只思考竖直倾向的坐标 ，取竖直向下为正倾向建树x轴，这样就能把物体在t光阴的位置记为一个坐标x(t)，不才面加一点展现坐标对于光阴求一阶导，患上到速率v ，再加一个点是求二阶导，患上到减速率a

用牛顿第二定律可能列出

很简略解出逍遥落体的行动方程为

以上是由牛顿定清晰进去的行动方程，它是x对于t的二次函数，画在x-t图中是一条抛物线。

（行动道路多种抉择）

但无妨再斗果敢胆地想一想 ，假如如今不知道行动方程是奈何样样的，概况说，假如在另一个星球上知足另一条物理纪律 ，那末它的道路很可能再也不是t的平方
，而是t的一次方概况三次方 。从尽头①到尽头② ，有良多种可能的道路（图中红线） ，它与黑线差△x(t)。由于道路再也不禁牛顿定律判断
，行动方程只能写成对于t的未知的函数

在这样的情景下
，有无可能找到另一个条件 ，从这个新的动身点动身
，能重新推导出牛顿定律呢？

回顾先前电能源学课上讲过的“分层理念”  。可能把电磁学量分成三层，第一层是电势以及磁矢势，第二层是电磁场，可能由第一层求时空偏导患上到，第三层是电磁场的散度以及旋度 ，与电荷以及电流直接相关。麦克斯韦方程组可能用第二层以及第三层的量来形貌 ，也可能把第二层的量换成第一层来患上到更松散的方式。相似地 ，力学中理当也可能找到x以及v眼前更底层的量 ，把牛顿定律写成另一种方式。在这种脑子的开辟下，假如有一个标量函数F，它与x以及v无关

这个函数对于光阴的积分会进去一个数

这样写至关于输入一个道路函数x(t) ，它会经由被积函数F输入一个数S
，这是从函数x(t)到数S的映射，称为泛函 。

之以是想到妄想这样一个泛函，是由于在17世纪，光学规模已经提出了光的费马道理。费马见告巨匠 ，设定光动身的尽头以及抵达的尽头 ，两点之间有良多可能的道路可能相连，那末光所走的着实道路确定是历时最短的那条 ，概况说，历时确定取在一个极值。用这个道理可能把光在平均介质中沿直线转达、光的反射以及折射纪律都涵盖进去。

光所走的历时是对于道路求积分患上出的一个泛函 。道路是一个函数，对于它输入自变量坐标它会输入因变量坐标 ，是数到数的映射。而历时是一个泛函 ，对于它输入一个道路函数它会输入一个光阴 ，是函数到数的映射
。

假如把每一条可能的道路看做函数空间中的一个点
，泛函便是输入一个函数空间中的点并输入一个数。光所走的着实道路位于泛函取极值的中间
，它的一阶变分为0
，意思是说，把给泛函的输入 
，从代表光所走的着实道路的点稍作偏移，也即把道路稍微挪移一小段，泛函所输入的数值将简直巩固。这以及函数取极值时一阶导为0是同样的，这样的点称为驻点（stationary point） ，光所走的实际道路也称为stationary path 。

类比光的费马道理，有无可能在力学中也计划一个标量函数F，使患上物体在按着实行动方程行动时，输入的数S也取为极值呢
？

从变分取极值推导行动方程 ，并用函数空间清晰驻点

有了想法 ，就能开始数学推导了。对于道路x(t)做变分，酿成x(t)+△x(t)后，F会响应地酿成F+△F，S也会酿成S+△S。这里只关注变更量 ，写出S的一阶变分为

尽管道路x(t)以及速率v(t)作为光阴的函数是有分割关连的
，但F作为x以及v的二元函数 ，对于它们的依赖关连是自力的。以是在审核F的变分时，理当先假如摁住速率v不动 ，思考△x的贡献，再摁住x不动，思考△v的贡献

在第二项对于速率的变分中，可能把变分以及对于光阴求导的挨次做一个交流

代回对于F的变分式，并将第二项凑玉成微分的方式

交流第二项以及第三项的位置，把以及△x线性相关的项放在一起，再代回对于S的变分式

上式写成为了两项，第二项是一个全微分，很简略积出服从 。由于在对于道路x的变分中已经牢靠了尽头以及尽头
，

以是对于第二项积分后患上到的变更量是0。另一方面
，这里要追寻的F的函数方式是使患上S在实际行动方程上取极值，概况说，它的一阶变分取0，是一个在输入函数x的函数空间中的驻点，这要求不论△x若何抉择，第一项的服从也依然是0。以是方括号中的被积函数必需取为0，

（张背阴推导变分取极值的条件）

至此，张背阴从数学上推出了一个泛函S取极值时
，它的被积函数F理当与道路x以及速率v具备何种关连。尽管x以及v作为t的函数是相互依赖的，但F对于x以及v的函数关连是自力的
，在思考F若何妄想时 ，可能用正交的x轴以及v轴代表所有可能道路的函数空间
。

每一个道路经由被积函数F对于应一个泛函S，它能画成函数空间中的一个曲面。但这个面是冗余的，在这个面上，惟独v是x对于光阴求一阶导的点才对于运分心义的道路 。在这些分心义的函数点所连成的线上做一阶变分，变分为0的驻点对于应的道路函数就理当是物体的着实道路，这些点就彷佛“山谷”、“山脊”概况“鞍点” ，而“山坡”所对于应的点就不是物体的着实道路
。

（用函数空间中的曲面清晰变分驻点 。这里x轴以及v轴尽管垂直，但对于分心义的道路而言它们并非自力的）

有读者会留意到当初惟独要了一阶变分为0，它对于应的是取极值的驻点，但并不能分说它是极小
、极大仍是一个鞍点，为甚么会叫它“最小熏染量道理”呢？这着实是一个习气的叫法，更严厉的叫法理当是平稳熏染量道理（principle of stationary action）
。在大部份情景下，妄想进去的F在实际行动道路下简直取的是泛函极小值 ，它的二阶变分大于0，是一个位于山谷的凹点 。

妄想拉格朗日量以及熏染量，建树拉格朗日力学

那末被积函数F在甚么样的函数方式下 ，求进去的驻点对于应的道路恰正是牛顿第二定律呢？在不思考非激进力（好比磨擦力或者洛伦兹力）的情景下，拉格朗日给出的服从是，被积函数F即是动能T减去势能V，这称为拉格朗日量

拉格朗日量对于光阴的积分S也被正式命名为熏染量 。适才患上到的对于变分取极值的方程也正式酿成为了欧拉-拉格朗日方程

下面的拉格朗日量是动能以及势能的函数
，简直很像电能源学中第一层的电势以及磁矢势。张背阴再次以逍遥落体举例 。在这里 ，重物的动能为

重力势能为

以是拉格朗日量为

代入欧拉-拉格朗日方程

患上到的行动方程偏偏以及牛顿的行动定律不同

再来思考另一个例子 。有一物体套在滑杆上 ，它在重力的熏染下往下滑。杆子的形态并不法则，在笛卡尔坐标系中需要两个直角坐标来表述  。可是由于物体被约束在了杆子上，它惟独1个逍遥度，以是可能只用一个坐标来形貌它的行动 。

（在物体沿杆下滑下场中，惟独一个行动逍遥度）

设物体的初始位置为坐标原点 ，取沿杆走过的长度l(t)作为形貌物体行动的坐标
，每一个l对于应一个高度h(l)，它的拉格朗日量是

代入欧拉-拉格朗日方程

患上到

这也以及牛顿定律是不同的。由于在滑杆上，歪斜角的正弦值sinθ便是高度对于沿杆长度的变更率dh/dl，而经由力的矢量分解
，重力沿杆倾向的份量正是重力乘以歪斜角的正弦值，以是上式着实是物体在物体沿杆倾向上牛顿第二定律 。而在垂直于杆的倾向上，物体的重力份量以及杆的反对于力相互对于消 ，物体被牢牢地约束住了 
，不行动逍遥度。

在欧拉-拉格朗日方程中，经由对于拉格朗日量做微分，可能患上到牛顿力学里的减速率以及力 。反以前，也可能对于牛顿行动方程做积分
，来看看它是否回到拉格朗日力学的动能以及势能。令上式双方对于行动道路求积分，右侧患上到

第二个等号中把积分变量交流成为了dt ，第三个等号又交流成为了dv ，积进去的正是动能 。对于右侧积分患上到

它正是重力势能的减大批。把双方放在一起看 ，不难发现它便是机械能守恒

（张背阴推导机械能守恒）

经由这个不法则形态的杆的例子，可能发现拉格朗日力学做作地把行动约束思考进了坐标里，它不用定是笛卡尔的直角坐标 ，也不用定是极坐标概况球坐标 ，惟独能找到适宜的狭义坐标，就能实用地用行动约束削减微分方程的数目 。一个逍遥度可能用一个狭义坐标以及狭义速率来形貌，假如有n个行动逍遥度，拉格朗日量便是对于n个狭义坐标以及n个狭义速率的标量函数

它对于这n组狭义坐标以及速率
，有n个欧拉-拉格朗日方程

另一方面，比照于牛顿力学 ，拉格朗日力学只用思考拉格朗日量一个标量
，而不波及对于力的矢量合成。尽管牛顿力学更抽象直不雅 ，但在某些受力情景重大的系统中，拉格朗日力学能更利便地患上出物体行动所知足的微分方程。其后的量子力学以及量子场论也借鉴了其中的良多意见。

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